La derivada: de la secante a la tangente

Mueve el punto, achica el valor de h y mira cómo la recta secante gira hasta convertirse en la recta tangente. Eso, precisamente, es la derivada: el límite de ese proceso.

f′(x) = lim_h→0 f(x + h) − f(x) h

Pruébalo

Arrastra el punto sobre la curva o usa los controles de la derecha.

arrastra el punto

f(x) recta secante (pendiente promedio) recta tangente (pendiente exacta)

Controles

función

x₀ –

h –

h: –
x₀ + h: –
f(x₀): –
f(x₀+h): –
pendiente secante: –
derivada exacta: –
diferencia: –

Cómo leer la fórmula

Cada símbolo describe una parte concreta de lo que acabas de ver en el gráfico.

f(x): La función que queremos estudiar: la curva que se dibuja arriba.
x: El punto donde queremos conocer la pendiente, es decir, la tasa de cambio instantánea. Es el punto que arrastras.
h: Un pequeño paso a la derecha de x. Piensa en él como la distancia entre el punto que arrastras y un segundo punto vecino.
f(x+h) − f(x): Cuánto cambió la altura de la curva entre esos dos puntos: la variación vertical.
[ … ] / h: Variación vertical sobre variación horizontal: la pendiente de la recta secante que une los dos puntos.
lim_h→0: Qué le pasa a esa pendiente cuando el segundo punto se acerca cada vez más al primero, sin llegar a fundirse con él.

Nota: en esta página h se aproxima a 0 solo por valores positivos, para que el proceso se vea con claridad. La definición completa también considera h negativo; la derivada existe únicamente si ambos lados coinciden en el mismo límite.

Qué pasa cuando h se acerca a 0

La tabla usa el x₀ que dejaste en el panel de arriba. A medida que h se hace más pequeño, la pendiente de la secante se acerca cada vez más al valor exacto de la derivada, y la diferencia entre ambas se reduce.

Pendiente secante para distintos valores de h, con la función y el x₀ actuales
h	pendiente secante	diferencia con f′(x₀)

Interpretación geométrica

La secante que une (x, f(x)) con (x+h, f(x+h)) mide una pendiente promedio: cuánto sube o baja la curva, en promedio, a lo largo de ese tramo. A medida que h se reduce, ese tramo se encoge y la secante gira alrededor del punto fijo hasta quedar apoyada sobre la curva en un solo lugar: ahí es la recta tangente. Su pendiente ya no es un promedio, sino la tasa de cambio en ese instante exacto. Esa pendiente instantánea es, por definición, la derivada de la función en ese punto.